DSpace Kolekce:http://hdl.handle.net/11025/299852024-03-29T11:01:01Z2024-03-29T11:01:01ZBifurkace v reakčně-difuzních problémechFencl, Martinhttp://hdl.handle.net/11025/529312023-06-13T07:57:03Z2021-01-01T00:00:00ZNázev: Bifurkace v reakčně-difuzních problémech
Autoři: Fencl, Martin
Abstrakt: Náplní této práce je studium bifurkací v superlineárních neurčitých problémech a systémech reakce--difuze, které vykazují Turingovu difuzí řízenou nestabilitu. Při zkoumání těchto problémů využíváme metod matematické a numerické analýzy.
Tato disertace je rozdělena na dvě části. V první se věnujeme již zmíněným superlineárním problémům. Jednak jde o studium globální struktury pozitivních řešení pomocí numerické kontinuace a objasnění domněnky o počtu těchto řešení. Dále se pak zabýváme superlineárním problémem s váhovou funkcí. Zde jsme se věnovali nečekaným spektrálním vlastnostem tohoto problému a jejich důsledkům na chování bifurkačních větví. V druhé části této práce shrneme naše výsledky týkající se vlivu jednostranných členů a jednostranných členů obsahujících integrální průměr v rovnici pro aktivátor u systému reakce--difuze na vznik prostorových vzorků. Ukážeme, že množina difuzních parametrů, pro které je bifurkace z konstantního řešení možná, je v takovém případě menší, než u problému bez jednostranných členů. Zároveň prozkoumáme tvorbu vzorků u problému se Schnakenbergovou kinetikou pomocí numerických experimentů pro různé jednostranné členy a okrajové podmínky.
Závěrem přikládáme ve čtyřech apendixech články s výsledky, které prezentujeme v textu této disertační práce.2021-01-01T00:00:00ZFencl, MartinOtevřenost zobrazeníRoubal, Tomášhttp://hdl.handle.net/11025/529302023-06-13T07:57:03Z2021-01-01T00:00:00ZNázev: Otevřenost zobrazení
Autoři: Roubal, Tomáš
Abstrakt: V práci studujeme zobecněné verze metrické regularity, například nelineární a směrová regularita.
Rovněž studujeme podobné zobecnění metrické subregularity a semiregularity a odvozujeme postačují podmínky pro tyto vlastnosti v případě jednoznačných zobrazení v konečné dimenzi.
Prvním cílem práce je definovat metrickou regularitu, metrickou subregularitu a metrickou
semiregularity jednoznačných i mnohoznačných zobrazení. Formulujeme několik ekvivalentních vlastností a také uvedeme postačující i nutné podmínky pro jejich platnost. Dále se zabýváme stabilitou zmíněných vlastností vzhledem k jednoznačné i mnohoznačné perturbaci.
Druhým cílem je poskytnout postačující podmínky pro směrovou semiregularitu a semiregularitu s vazbou jednoznačných zobrazení v konečné dimenzi založených na aproximaci lineárním zobrazením a svazkem lineárních zobrazení. Zaměříme se na výpočet modulů (semi)regularity lineárních zobrazení.
Posledním cílem je zobecnit kritéria Ioffeho typu do kvazimetrických prostorů a tím získat kritéria pro nelineární a směrové verze uvedených vlastností.2021-01-01T00:00:00ZRoubal, TomášDynamické systémy na grafechŠvígler, Vladimírhttp://hdl.handle.net/11025/529292023-06-13T07:57:02Z2021-01-01T00:00:00ZNázev: Dynamické systémy na grafech
Autoři: Švígler, Vladimír
Abstrakt: Záměrem této práce je shrnout naše nedávné výsledky týkající se konkrétních fenoménů vyskytujících se v dynamických systémech na grafech. Soustředíme se na dynamické systémy s diskrétní a spojitou prostorovou strukturou a časem. Velký důraz klademe na jevy, které se projevují výhradně u systémů s diskrétní prostorovou strukturou narozdíl od jejich spojitých protějšků. Toto srovnání uvažujeme z pohledu možných aplikací v numerické analýze a modelování systémů, u nichž homogenizace prostoru vede k významné redukci chování. Dvěma hlavními tématy jsou evoluční hry na grafech a reakčně-difúzní rovnice.
Evoluční hra na grafu je model, jenž popisuje interakce hráčů uspořádaných v nějaké dané prostorové struktuře. Každý hráč má přiřazenu strategii (spolupráce nebo nespolupráce), která je aktualizována v souladu s pravidly hry. Tento model je příkladem systému s diskrétní časovou strukturou a stavovým prostorem. Zkoumáme souvislost mezi strukturou podkladového grafu a existencí pevných bodů systému. Také ukážeme, že evoluční hra na grafu může obsahovat periodické orbity libovoné délky.
Reakčně-difúzní rovnice tradičně popisují časový vývoj systémů modelujících chemické, fyzikální, biologické a další děje. Zde se zaměřujeme hlavně na periodická stacionární řešení a cestující vlny v bistabilních reakčně-difúzních rovnicích na mřížce. Mřížkové diferenciální rovnice mohou být chápány buď jako důsledek diskretizace parciálních reakčně-difúzních rovnic na reálné ose pomocí metody konečných diferencí, ale mají své opodstatnění i jako samostatné modely. Za základním model uvažujeme Nagumovu rovnici na mřížce, tj. rovnici, jejíž reakční člen je kubický polynom. Mnoho výsledků je ale platných i pro obecné bistabilní rovnice na mřížkách. Bistabilní rovnice na mřížce má na rozdíl od odpovídající parciální diferenciální rovnice nekonečné množství prostorově heterogenních stacionárních řešení. Toto chování se občas nazývá "prostorový chaos", protože počet řešení je dispropocionálně vyšší než počet uzlů (počet rovnic). V této práci ukážeme, jak lze zavést značící schéma pro periodická stacionární řešení a jak určit jejich přesný počet, pokud budeme uvažovat symetrie rovnice. Naše zkoumání cestujících vln započneme "selháním propagace", tj. situací, při které monotonní vlna necestuje. To obvykle nastává u mřížkové rovnice s malou intenzitou difúze. Obecně se uvažuje, že bohatá struktura stacionárních řešení zabraňuje monotonním vlnám v cestování. Část týkající se cestujících vln uzavřeme představením tzv. "vícebarevných vln"; nemonotonních vln spojujících dvě periodická stacionární řešení rovnice na mřížce. Tyto vlny mohou cestovat i pro kombinace parametrů, kdy monotonní vlny projevují "selhání propagace". Dále je můžeme spojovat do složitějších struktur a studovat jejich srážky. V neposlední řadě pozorujeme nemonotonní závislost rychlosti vlny na intenzitě difúze, což je kvalitativní rozdíl v chování oproti vlnám v Nagumově parciální diferenciální rovnici.2021-01-01T00:00:00ZŠvígler, VladimírExistence a bifurkace periodických řešení v modelech visutých mostůJanoušek, Jakubhttp://hdl.handle.net/11025/504712022-11-28T11:34:41Z2022-01-01T00:00:00ZNázev: Existence a bifurkace periodických řešení v modelech visutých mostů
Autoři: Janoušek, Jakub
Abstrakt: Tato práce si klade za cíl shrnout naše výsledky v oblasti modelování visutých mostů, konkrétně se zabývá řešitelností a bifurkacemi periodických řešení v několika vybraných modelech. Text je uspořádán chronologicky podle pořadí, ve kterém jsme se jednotlivými tématy zabývali. Nej-prve se soustředíme na jednodimenzionální model s tlumením a přinášíme revizi dosavadního výsledku týkajícího se jednoznačnosti řešení. K tomu využíváme standardních nástrojů, jako je např. Banachova věta o kontrakci, ovšem tentokrát s použitím přesnějšího geometrického zkoumání polohy vlastních čísel odpovídajícího lineárního operátoru. To nám umožnuje dosáhnout značného rozšíření intervalu přípustné tuhosti mostních lan. Dále zkoumáme model visutého mostu s prostorově proměnnou tuhostí, která přináší možnost, jak do modelu zahrnout informaci o odděleném rozložení připojení lan k mostovce. Zaměřujeme se na kvalitativní a kvantitativní vlastnosti tohoto modelu, které srovnáváme s klasickým mode-lem s konstatní tuhostí. Zjišťujeme, že pro některá nastavení tuhosti a odpovídajícího profilu rozložení lan dochází v modelu k bifurkacím periodických řešení. V neposlední řadě se také zabýváme významem Fučíkova spektra pro možnost existence tzv. blow-upů. Poté se věnujeme tématu, které přímo souvisí se zkoumáním vlivu prostorově proměnné tuhosti, a sice hledání postačujících podmínek pro (striktně) inverzní pozitivitu lineárního diferenciálního operátoru čtvrtého řádu, který odpovídá příslušné rovnici nosníku s proměnnou tuhostí. Pomocí rozšíření technik uvedených J. Schröderem v rámci teorie redukce operátorů, ukazujeme, že minima a maxima prostorově proměnné tuhosti mohou značně překročit meze stanovené dřívějšími výsledky. Závěrem poznamenejme, že tato práce je rozdělena do dvou hlavních úseků. První část slouží jako přehled a kompilace našich výsledků, uvedených v kontextu související literatury, případně předchozích výsledků v dané oblasti. Druhá část je reprezentována přílohou, která zahrnuje tři naše výzkumné články, v nichž jsou k dispozici detailnější informace a také důkazy všech našich tvrzení.2022-01-01T00:00:00ZJanoušek, Jakub