Analýza bistabilní rovnice a jejích zobecnění

Abstract

Diplomová práce se zabývá bistabilní rovnicí $u_t = \varepsilon^2 u_{xx} -F'(u)$, pomocí níž lze modelovat dynamiku skupenské přeměny za určité kritické teploty. Vychází z poznatků publikovaných Drábkem a Robinsonem (Pavel Drábek a Stephen B. Robinson: Continua of local minimizers in a non-smooth model of phase transition, 2011), která vysvětluje fenomén pomalé dynamiky. V úvodní kapitole jsou představeny některé známé výsledky, na něž se v dalších kapitolách navazuje a které se rozvíjí. V kapitole druhé se práce oprostí od fyzikálně motivovaného případu potenciálu se dvěma zdroji a rozkrývá chování modelu i pro potenciály vícezdrojové. Pro popis stacionárních řešení modelu je použito diagramu řešení (v závislosti na parametrech), jehož vlastnosti jsou zkoumány v kapitole třetí. Čtvrtá kapitola potom otevírá problematiku nehladkých potenciálů, které umožňují vznik variet řešení. Výsledek, známý pro nehladký dvouzdrojový potenciál, je zobecňován pro další typy potenciálů. Určování počtu variet stacionárních řešení pak nabízí zajímavé propojení do elementární teorie grafů. Práce obsahuje velké množství výsledků, které považujeme za původní. Jejich shrnutí je věnována pátá, závěrečná kapitola.